КУРС З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Матриці, мінори, визначники, дії з матрицями (додавання/віднімання, транспонування, множення матриці на число, множення матриць). Знаходження оберненої матриці. Матричні рівняння.

Системи лінійних рівнянь, методи розв’язування СЛР: метод Крамера, матричний метод (за допомогою оберненої матриці), метод Гауса. Ранг матриці. Сумісність системи. 

Вектори. Модуль вектора, колінеарність векторів. Дії над векторами (додавання/віднімання, множення вектора на число). Скалярний, векторний, мішаний добуток векторів. Компланарність векторів. Проєкція вектора на вектор. Базис. Розклад вектора за базисом. Лінійна незалежність векторів.

Пряма та площина. Пряма у просторі та на площині (параметричні, канонічні, загальні, векторні рівняння, рівняння у відрізках, нормовані рівняння). Взаємне розташування прямих та площин.

Комплексні числа. Основні поняття, дії над комплексними числами. Алгебраїчна форма, тригонометрична форма, показникова форма комплексних чисел. Корені з комплексних чисел, формула Муавра. Лінійні та квадратні рівняння з комплексними числами. Полярна система координат.

Границі функції. Перша і друга чудова границя. Методи знаходження границь. Правило Лопіталя. Послідовності. Границі послідовностей.

Числові ряди, ознаки збіжності Коші і Даламбера. Ознака Лейбніца. Степеневі ряди.

Похідні. Перша та друга похідні функції однієї змінної, їх геометричне значення, фізична інтерпретація. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання (похідна добутку, частки, складної функції, неявної функції). Вищі похідні, теорема Ляйбніца (для похідної добутку функцій).

Аналіз функцій. Формула Тейлора. Розклад в ряд Тейлора для основних елементарних функцій. Схема аналізу поведінки функції однієї змінної (визначення асимптот, екстремумів, особливих точок, областей монотонності і монотонної кривизни).

Інтеграл. Невизначений інтеграл. Первісна функція, властивості інтегралу, інтеграли елементарних функцій. Визначений інтеграл, його геометричне значення, фізична інтерпретація. Основні прийоми інтегрування: заміна змінних, інтегрування по частинах, ланцюгові формули, диференціювання по параметру. Інтегрування раціональних і тригонометричних функцій. Невласні інтеграли, критерії їх збіжності.

Означення частинної похідної. Повний диференціал і повна похідна. Диференціал другого порядку. Дослідження функції декількох змінних на екстремум. Похідна за напрямком та градієнт функції.

Подвійний, потрійний інтеграл. Властивості, геометричний смисл, фізичні застосування та методи обчислення. Основні прийоми обчислення кратних інтегралів: заміна змінних, повторне інтегрування, диференціювання по параметру.

Диференціальні рівняння першого порядку. Опис природніх явищ за допомогою диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Метод варіації довільної сталої.